Πέμπτη, 4 Ιουνίου 2015

Μαγικοί Αριθμοί


Πραγματικοί και Φανταστικοί Αριθμοί
Το ζεύγος της  υλοποιητικής φαντασίας

Αν ο πραγματικός σας Εαυτός είναι εδώ, διαβάζει ή γράφει, ο φανταστικός που βρίσκεται και τι κάνει;
Μαθηματικά προβλήματα ζητούν  λύσεις.

Στα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα, και έχει την ιδιότητα:
i^2=-1
Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή a+ib, όπου τα a και b είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.
Για παράδειγμα, ο 3+2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.
Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμών με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.
Η πρώτη φευγαλέα αναφορά σε τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών έγινε στο έργο του μαθηματικού και εφευρέτη Ήρωνα τον 1ο μ.Χ. αιώνα, όταν εξέτασε τον όγκο ενός ανέφικτου κόλουρου πυραμίδας. Αυτές έγιναν πιο σημαντικές, όταν τον 16ο αιώνα ανακαλύφθηκαν οι κλειστοί τύποι για τις ρίζες των πολυωνύμων τρίτου και τέταρτου βαθμού από Ιταλούς μαθηματικούς όπως ο Niccolo Fontana Tartaglia και ο Gerolamo Cardano. Σύντομα έγινε αντιληπτό ότι αυτοί οι τύποι, ακόμη και αν μόνο ένας αφορούσε πραγματικές λύσεις, μερικές φορές απαιτούσαν τη χρήση τετραγωνικών ριζών αρνητικών αριθμών.
Οι μιγαδικοί αριθμοί επινοήθηκαν από τον Ιταλό μαθηματικό Τζερόλαμο Καρντάνο, ο οποίος τους χαρακτήριζε ως φανταστικούς, στην προσπάθειά του να βρει αναλυτικές λύσεις σε κυβικές εξισώσεις. Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων εξισώσεων απαιτεί ενδιάμεσους υπολογισμούς, οι οποίοι μπορεί να περιλαμβάνουν τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών, ακόμα κι όταν η ρίζα είναι πραγματικός αριθμός. Το γεγονός αυτό οδήγησε τελικά στο Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, που δείχνει ότι στο σώμα των μιγαδικών αριθμών κάθε μη μηδενικό πολυώνυμο έχει τουλάχιστον μια ρίζα.

Στα μαθηματικά, ένας φανταστικός αριθμόςκαθαρά φανταστικός αριθμός) είναι ένας μιγαδικός αριθμός, το τετράγωνο του οποίου είναι ένας αρνητικός πραγματικός αριθμός. Ο όρος πλάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ το 1637 στο έργο του "Η Γεωμετρία" (La Géométrie) και είχε κάπως υποτιμητική σημασία. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού, είναι πάντα ένας μη αρνητικός αριθμός. Συνεπώς, αριθμοί με τις ιδιότητες των φανταστικών αριθμών θεωρούνταν εκείνη την εποχή ότι δεν μπορεί να "υπάρχουν" πραγματικά, όπως άλλωστε και το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρήθηκαν κατά καιρούς από κάποιους ως πλασματικοί ή άχρηστοι.

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τους φανταστικούς αριθμούς ως μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών και ως μια "μαθηματική αφαίρεση".

Παρά το παραπλανητικό τους όνομα, οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι, με εφαρμογή στον ηλεκτρισμό, στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων), στην κυματική και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.ΒΙΚΙΠΑΙΔΕΙΑ

ΟΙ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΕΕΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΟΥ ΚΑΤΑΚΤΗΣΑΝ ΤΗΝ ΥΛΗ

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου